sábado, 9 de enero de 2021

La paradoja de San Petersburgo

Imagine que un amigo le propone este negocio:

- "Voy a poner estos dos dólares en la mesa" - Le dice. "Y tu vas a lanzar una moneda. Si cae sello, te llevas el dinero que está en la mesa. En este caso, US$2. Pero si cae cara, yo duplico la cantidad de dinero en la mesa. Es decir, en la mesa ahora tendríamos US$4. En seguida, puedes volver a lanzar la moneda y se aplican las mismas reglas. Yo seguiré duplicando el dinero mientras siga cayendo cara y cuando caiga el primer sello, tu te llevas todo lo que haya."

- "Ok." - Le dice usted. "Y qué ganas tu?"

- "Tu tendrás que pagarme la inscripción al juego. Es decir, me harás un solo pago. Eso es lo que gano yo"

Como decía, digamos que su amigo le hace la anterior propuesta. Ahora... la pregunta es: 

¿Cuál precio estaría usted dispuesto a pagar por participar en este juego?

Este juego mental fue inventado por Nicolás Bernoulli, uno de los cerebritos que produjo la prolífica familia Bernoulli en el siglo XVII. Supongo que se aburrían mucho en los inviernos suizos y, estando tan desocupados y sin Netflix, ese diseñador interno de juegos que todos tenemos se les despertaba.

Este jueguito se volvió famoso con el nombre de la paradoja de San Petersburgo. 

¿Por qué paradoja?

Porque la primera solución que se le ocurría a los matemáticos del momento era

calcular cuál era la expectativa de ganancia que podría tener un jugador. Con este dato, se puede responder la pregunta, ya que si la expectativa es que yo me gane US$20 pues probablemente esté dispuesto a pagar cualquier precio inferior para jugarlo.

Pero la cosa no era fácil, porque la expectativa se calcula pensando en las probabilidades de que el juego se extienda durante los diversos lanzamientos de la moneda.

Más o menos la cosa es así. Como la moneda tiene dos caras, entonces la probabilidad de que caiga sello en el primer lanzamiento es del 50%. Y como la bolsa inicial es de US$2 pues ese sería el peor caso. 

Hay una forma de calcular eso y es: Expectativa de ganancia (E) = US$2 * 50% 

La probabilidad de que el juego se extienda más rondas va disminuyendo cada vez. Hay una probabilidad de que caiga sello en un segundo lanzamiento del 25% y así...

Los matemáticos tomaron un lápiz bien largo y una hoja de papel grandota y empezaron a sumar esas probabilidades.

Pero pasa lo mismo de la paradoja de Aquiles (que no la propuso Aquiles, no vayan a quedar mal con su suegro en alguna reunión familiar), en la que el veloz Aquiles nunca puede alcanzar a la persistente tortuga porque siempre le queda la mitad de la distancia por recorrer. Así hasta el infinito...  

Las paradojas son una maravilla de juegos mentales, porque muestran que la ciencia todavía no ha avanzado tanto como para responder todas las preguntas. Es como cuando medían la velocidad de la luz y les daba que siempre era igual, no importa si uno iba alejándose o acercándose a la fuente. Y los científicos estaban tan locos con esta paradoja que se inventaban cosas raras como que el espacio estaba relleno de una sustancia que llamaban el éter... Pobres científicos. Menos mal les llegó su Einstein.

Bueno, la cosa es que haciendo la suma de todas las probabilidades resultaba que la expectativa de ganacia eran infinitos dólares. ¡Infinitos! Supongo que tendrían que ser puestos en una mesa infinita...

Pues los Bernoulli estuvieron echándole cabeza durante el postre y uno de los primos de Nicolás dijo: "Una solución puede ser cambiar eso de la ganancia esperada y empezar a pensar en una cosa distinta: la utilidad esperada."

El loco decía que ganarse un dólar no es tan útil para una persona rica como para una persona pobre.

A mi me parece que le estaba "tomando el pelo" al problema, pero lo cierto es que este otro genio desocupado, terminó proponiendo algo interesante. 

La utilidad tiene que ver con la situación personal de quien juega. Con sus gustos, sus deseos, sus miedos, sus principios, etc. 

Si fueramos a interpretar lo que Nicolás quizo decir con una ecuación sencilla, quizá esta podría funcionar:

Expectativa utilidad = Valor que le asignamos al premio  * Probabilidad de conseguirlo


Es decir, que cuando estamos decidiendo si queremos ir tras algún objetivo, deberíamos multiplicar el valor (la utilidad, la satisfacción que nos dará, etc.) del premio que obtendríamos por la probabilidad de que realmente lo obtengamos luego de todo el esfuerzo.

Suena interesante ¿No?

Quizá esta sería una ecuación para tener en mente cuando hacemos nuestros planes estratégicos.

Definir la estrategia es definir: ¿Vamos tras grandes objetivos con probabilidades bajas? o mejor vamos tras objetivos más fáciles de conseguir (probabilidad más alta) pero de menor ganancia para nosotros...

Y el innovador entonces se pregunta cosas como:

- ¿Cómo puedo aumentar la probabilidad de lograr este objetivo súper-atractivo?

Pero la cosa no es fácil para los seres humanos porque:

- Somos malos calculando las probabilidades de que consiga determinado objetivo. Es decir, creemos que nuestro restaurante tiene una probabilidad de éxito mayor de la que realmente tiene.

- Somos malos calculando lo que realmente nos provee satisfacción. Sobre todo cuando esta satisfacción se mueve en el tiempo. Preferimos satisfacciones menores pero ¡Ya mismo!

- Somos malos identificando objetivos emocionantes. Y como nos falta esa capacidad, normalmente nos dejamos guiar por objetivos estándar definidos por otras personas.

Pero eso no es culpa de los Bernoulli...






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